Materi Matematika Kelas 11: Logika Matematika
Jika kamu belajar UTBK sejak awal, maka kamu tidak akan gagal di SBMPTN. Hayo, apa yang bisa Pahamifren simpulkan dari pernyataan tersebut? Bagaimana jika kamu tidak belajar UTBK sejak awal? Sudah pasti gagal di SBMPTN dong. Ternyata, pernyataan tersebut merupakan salah satu contoh penerapan materi Logika Matematika yang disebut implikasi.
Dalam ilmu matematika, kamu juga dapat mempelajari logika, Pahamifren. Tujuan belajar materi Logika Matematika ini supaya kamu lebih mahir dalam menarik kesimpulan suatu pernyataan. Jadi, ke depannya kamu enggak asal menduga sesuatu deh. Biar kamu semakin paham mengenai materi Logika Matematika, yuk simak pembahasan artikel ini sampai selesai!
Materi Logika Matematika
Apa itu logika matematika? Penjelasan singkatnya, logika matematika adalah aturan berpikir atau landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Pertimbangan akal pikiran yang kita gunakan untuk menarik kesimpulan bukan hanya didasarkan pada logika alamiah, namun juga logika ilmiah. Nah, logika ilmiah ini bisa kamu pelajari lewat materi Logika Matematika.
Kamu perlu belajar materi Logika Matematika supaya dapat berpikir kritis, runtut, dan rasional. Apabila kamu sudah menguasai materi ini dengan baik, proses berpikir kamu akan menjadi lebih objektif sehingga bisa mengurangi kesalahan saat mengambil keputusan.
Di SMA, materi ini termasuk ke dalam mata pelajaran Matematika kelas 11. Enggak berhenti di kelas 11 saja, materi Logika Matematika juga bakal kamu temukan dalam soal-soal SBMPTN, khususnya soal TPS UTBK. Selain meningkatkan kemampuan berpikir, materi yang satu ini wajib kamu pelajari agar kamu bisa menguasai materi UTBK dan lolos SBMPTN.
Pengertian Proposisi
Logika matematika sangat dekat kaitannya dengan pernyataan dan penarikan kesimpulan. Itulah sebabnya saat belajar materi ini kamu harus tahu apa yang disebut proposisi. Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya (lebih dari satu).
Contohnya, angka 2 adalah bilangan genap merupakan pernyataan benar. Bilangan genap merupakan bilangan bulat dan habis dibagi 2. Angka 2 termasuk bilangan bulat dan akan habis jika dibagi 2.
Proposisi pada logika matematika terbagi menjadi 3 jenis, yaitu proposisi tunggal, majemuk, dan kompleks. Jenis proposisi tunggal yaitu pernyataan tanpa perangkai. Sementara proposisi majemuk memiliki satu perangkai. Terakhir, proposisi kompleks memiliki dua atau lebih perangkai.
Perangkai Dasar Proposisi
Ada 5 perangkai dasar proposisi dalam logika matematika, antara lain ingkaran atau negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Untuk menarik suatu kesimpulan yang benar dari suatu proposisi, kamu harus memahami terlebih dahulu setiap perangkai dasarnya. Simak penjelasannya berikut ini!
Ingkaran atau Negasi
Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dari pernyataan atau proposisi semula. Dalam logika matematika, ingkaran atau negasi memiliki simbol (~). Apabila pernyataan awal bernilai benar, maka pernyataan barunya bernilai salah. Sebaliknya, jika pernyataan semula bernilai salah, maka pernyataan barunya bernilai benar.
Permisalan ingkaran atau negasi adalah sebagai berikut:
- Jika (p) bernilai benar (B), maka ingkarannya (~p) bernilai salah (S).
- Jika (p) bernilai salah (S), maka ingkarannya (~p) bernilai benar (B).
Biar lebih jelas, simak contoh di bawah ini!
p = Sehun memiliki seekor anjing.
~p = Sehun tidak memiliki seekor anjing.
p = Semua unggas adalah burung.
~p = Ada unggas yang bukan burung.
Disjungsi
Disjungsi adalah proposisi majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘atau’. Secara matematika, disjungsi ditulis sebagai p v q, yang berarti p atau q. Suatu disjungsi akan bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar atau kedua pernyataan (p dan q) bernilai benar. Untuk menentukan kebenaran dari disjungsi, kamu bisa simak tabel berikut:
| p | q | p v q |
| B | B | B |
| S | S | S |
| B | S | B |
| S | B | B |
Contoh:
p = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu.
q = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Minggu.
Disjungsi (p v q) = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu atau Minggu.
Konjungsi
Konjungsi adalah suatu proposisi majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘dan’. Perangkai ini dilambangkan sebagai p ^ q, yang berarti p dan q. Suatu konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataan (p dan q) bernilai benar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel konjungsi berikut:
| p | q | p ^ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Contoh:
p = Luffy memiliki teman bernama Zoro.
q = Luffy memiliki teman bernama Nami.
Konjungsi (p ^ q) = Luffy memiliki teman bernama Zoro dan Nami.
Implikasi
Implikasi adalah proposisi majemuk sebab-akibat yang dihubungkan oleh kata hubung ‘jika…, maka…’. Secara matematika, implikasi memiliki simbol p => q. Dalam hal ini, p disebut sebagai anteseden atau penyebab, sedangkan q disebut sebagai konsekuen atau akibat. Perangkai dasar proposisi implikasi akan bernilai benar, jika:
- p bernilai benar dan q bernilai benar, maka implikasinya benar;
- p bernilai salah dan q bernilai benar, maka implikasinya benar;
- p bernilai salah dan q bernilai salah, maka implikasinya benar; dan
- p bernilai benar dan q bernilai salah, maka implikasinya bernilai salah.
Adapun jenis-jenis implikasi adalah sebagai berikut:
- Konvers dari implikasi p => q yaitu q => p.
- Invers dari implikasi p => q yaitu ~p => ~q.
- Kontraposisi dari implikasi p => q yaitu ~q => ~p.
Contoh implikasi pada proposisi majemuk:
p = Hari ini cuaca cerah
q = Hari ini ibu menjemur pakaian.
Implikasi (p => q) = Hari ini cuaca cerah, maka ibu menjemur pakaian.
Biimplikasi
Biimplikasi merupakan proposisi majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika…’. Pada logika matematika, biimplikasi memiliki simbol p ⬄ q. Suatu proposisi bernilai benar bilamana memiliki nilai kebenaran yang sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini!
p = Rona memberikan hadiah kepada ibunya.
q = Rona memenangkan lomba menyanyi.
Biimplikasi (p ⬄ q) = Rona memberikan hadiah kepada ibunya jika dan hanya jika ia memenangkan lomba menyanyi.
Contoh Soal Logika Matematika dan Pembahasan
Setelah mengetahui perangkai dasar proposisi dan contoh-contohnya, kini saatnya kamu menguji kemampuanmu lewat latihan soal. Mipi bakal memberikan contoh soal proposisi tingkat mudah dan pembahasannya. Yuk, kerjakan sekarang dan ukur kemampuanmu dalam menarik kesimpulan!
Soal 1
Berikut yang bukan merupakan proposisi adalah…
A. Matematika merupakan ilmu yang sulit
B. Tumbuhan hijau mampu berfotosintesis
C. 2 bukan merupakan bilangan prima terkecil
D. Proposisi tunggal merupakan gabungan dari dua buah proposisi
E. Integral merupakan anti turunan
Pembahasan:
Bukan proposisi merupakan sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran lebih dari satu.
Matematika merupakan ilmu yang sulit bukan termasuk proposisi karena tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya. Bagi sebagian orang, matematika adalah ilmu yang sulit, namun bisa jadi bagi sebagian orang yang lain matematika adalah ilmu yang mudah.
Jawaban yang benar adalah A.
Soal 2
Ingkaran dari pernyataan “Lingkaran memiliki sisi tak berhingga” adalah…
A. Lingkaran tidak memiliki sisi tidak berhingga
B. Semua lingkaran memiliki sisi tak berhingga
C. Ada lingkaran yang memiliki sisi tak berhingga
D. Semua lingkaran tidak memiliki sisi tak berhingga
E. Ada lingkaran yang tidak memiliki sisi tak berhingga
Pembahasan:
Ingkaran dari sebuah pernyataan bisa dibuat dengan menambahkan kata ‘tidak’. Jadi, ingkaran dari “Lingkaran memiliki sisi tak berhingga” adalah “Lingkaran tidak memiliki sisi tak berhingga”
Sampai sini, kamu sudah paham tentang materi Logika Matematika kan? Buat kamu yang ingin memahami materi SMA lainnya sambil menonton video materi berkonsep gamifikasi yang menyenangkan, langsung saja unduh aplikasi belajar online Pahamify di sini.
Khusus buat kamu yang mau kebut persiapan UTBK, jangan lupa untuk mencoba latihan soal UTBK di fitur Try Out Online Pahamify. Kumpulan soal-soal UTBK di TryOut Pahamify Premium dilengkapi video pembahasan dan analisis materi secara mendalam. Cocok banget buat memaksimalkan nilai UTBK mendatang.
Yuk, lebih siap taklukkan UTBK dan raih kampus impian bareng Pahamify! Klik banner di bawah ini buat dapetin promo spesial Persiapan UTBK 2022 dari sekarang!
Penulis: Fitri Dewanty – SEO Content Writer Pahamify
jae
April 13, 2021 at 2:34 amAku salpok contoh disjungsi
Ria Dara
May 11, 2021 at 3:22 pmHai,
Maaf, sepertinya ada kesalahan dalam soalnya. Suatu proposisi tidak harus mengandung satu arti kebenaran saja.
Hanya karena “Matematika merupakan ilmu yang sulit” suatu pernyataan yang relatif dengan orang-orang yang mengatakan, bukan berarti pernyataan itu tidak mengekspresikan suatu nilai kebenaran. Dalam pernyataan itu, nilai kebenarannya hanya ambigu, tetapi tetap ada nilai kebenarannya.
Proposisi adalah pernyataan, frasa, atau kalimat apapun yang mendeklarasikan sesuatu dengan nilai kebenaran yang bisa ditentukan. Dan pernyataan “Matematika merupakan ilmu yang sulit” masihlah suatu proposisi karena masih bisa ditentukan nilai kebenarannya, meskipun relatif ke masing-masing orang.
Terima kasih.
Fitri Dewanty
May 12, 2021 at 2:03 amHalo Ria, terima kasih atas masukannya.
Proposisi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran salah atau benar, tapi tidak bisa keduanya sekaligus.
Dalam soal tersebut nilai kebenarannya tidak bisa ditentukan secara pasti karena mengandung pengertian relatif (bisa bernilai salah atau benar tergantung orang).
Sementara itu, suatu kalimat dikatakan bukan proposisi jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut bernilai benar/salah, atau mengandung pengertian relatif, sama halnya soal tersebut.
Jadi, tetap memiliki nilai kebenaran, namun tidak termasuk proposisi karena nilai kebenarannya lebih dari satu (benar dan salah), serta tidak bisa ditentukan secara pasti.
Semoga jawaban ini membantu. Terima kasih 🙂
Ria Dara
June 23, 2021 at 8:16 pmHalo Fitri, terima kasih sudah menanggapi.
Saya setuju bahwa proposisi adalah suatu pernyataan apapun yang memiliki nilai kebenaran atau kesalahan dan tidak bisa keduanya sekaligus.
Ketidaksetujuan saya ada pada penggunaan relativitas dari suatu pernyataan sebagai indikator utama bahwa pernyataan tersebut bukanlah suatu proposisi. Pernyataan “Andi adalah cowok yang ganteng” kan tetap relatif, tetapi itu tetap mengekspresikan suatu atribut objektif yang bergantung kriteria evaluatif tertentu itu bisa benar dan salah. Kebenaran dan kesalahannya yang saya maksud bukanlah fitur nyata tersebut (seperti panjang hidung Andi atau besar bibir Andi), tetapi spesifiknya keselarasan fitur-fitur nyata tersebut dengan kriteria evaluatif kita masing-masing.
Dari apa yang saya kenal sebagai suatu proposisi, suatu proposisi itu pentingnya bukankah apakah bisa ditentukan dengan objektif atau tidak, tetapi apakah pernyataan tersebut mendeklarasikan atau mengeskpresikan konsep tertentu sebagai benar. Ada yang namanya “evaluative proposition” atau “normative proposition” (proposisi evaluatif/normatif) yang mengekspresikan suatu pertimbangan atau evaluasi berdasarkan norma tertentu yang dipegang atau digunakan oleh yang mengekspresikan pernyataan tersebut.
Apakah ini bukan kasusnya?
Terima kasih.
Ria Dara
June 23, 2021 at 8:18 pmMaaf, ingin koreksi.
*Ketidaksetujuan saya ada pada penggunaan relativitas dari suatu pernyataan sebagai indikator utama bahwa pernyataan tersebut bukanlah suatu proposisi. Pernyataan “Andi adalah cowok yang ganteng” kan tetap relatif, tetapi itu tetap mengekspresikan suatu atribut objektif yang bergantung kriteria evaluatif tertentu.
Rebo
May 20, 2021 at 8:22 amPermisi, mau saya pahami lagi kak.
Dibagian ‘implikasi’ itu ada perangkai bernilai benar. Nah disitu ad yang mau saya pertanyakan,
Yang kedua, “jika p bernilai salah, dan q bernilai benar, maka implikasinya ‘benar'”
Menurut saya seharusnya implikasinya bernilai salah, karena sebab-akibatnya tidak nyambung.
Contoh,
P= hari ini cuaca cerah(pernyataan ini salah)
Q= mama menjemur pakaian(pernyataan ini benar)
Jadi, jika kita artikan lagi, kalimatnya jadi gini “hari ini enggak cerah, maka mama menjemur pakaian”.
Jadi, seharusnya implikasinya salah, karena sebab-akibatnya juga salah(gak nyambung). Masa kita menjemur pakaian pas engga ad sinar matahari, (ya walaupun relatif, ad jua orng yang jemur pas endk ad sinar matahari karena mo cari capeknya, hehe)
Tapi, jika pernyataan saya salah, mohon diperbaiki lagi kak dan dijelasin lagi. Maaf mengganggu waktunya
Fitri Dewanty
May 21, 2021 at 1:48 amHalo Rebo, untuk penjelasan p (salah) dan q (benar), kita gunakan p -> q, jika p, maka q.
Kesimpulannya, apabila p terjadi, maka q pasti terjadi. Namun, saat q terjadi, belum tentu hal itu disebabkan p (karena panahnya satu arah), tidak seperti biimplikasi yang panahnya 2 arah (jika p, maka pasti q).
Nah, oleh karena itu, dari contoh di atas, meski cuaca tidak cerah (p salah), maka ibu tetap bisa menjemur pakaian (bisa disebabkan hal lain).
Mipi kasih contoh lainnya: “Jika Lehi sembuh, maka Lehi akan sekolah”. Lalu, bagaimana jika Lehi belum sembuh? Perhatikan, Lehi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya, jika Lehi belum sembuh, tidak masalah Lehi mau masuk atau tidak karena ia tidak melanggar janjinya.
Semoga jawaban ini membantu. Jika masih bingung, kamu bisa tonton video materi di aplikasi Pahamify. Terima kasih 🙂
reza rostifa
September 19, 2021 at 12:10 pmmohon bertanya apa boleh saya meresume artikelnya untuk tugas saya , jika diperbolehkan siapa penerbit,pengarang dan pengantarnya. sekian terimakasih kak semoga dijawab
rizaldi abror
September 20, 2021 at 2:46 amHalo Reza. Boleh kok, silakan. Tulis saja sesuai nama authornya ya.
Ria
October 4, 2021 at 5:28 amKak kalo kalimat ini “sesama calon bupati tidak boleh saling menjelekkan”
Ini termasuk preposisi bukan