Pahami Kampus Pahami Materi Pahami Fun Pahami Tips Pahami Pahamify

Pahami Materi

Latihan Soal UTBK Matematika

Beberapa bulan tersisa menuju Ujian UTBK, udah sampe dimana, nih, persiapan kamu? Gali dan gali terus materi pelajaran yang belum kamu pahami dan perbanyak mengerjakan latihan soal. Semoga perjuangan kamu bisa membuahkan hasil, ya!

Gimana kalo kita latihan soal aja biar makin jago lagi? Kita mau kasih soal matematika yang bisa kamu pelajari dan bisa jadi bahan diskusi bareng temen-temen kamu.

MTK SAINTEK

SOAL 1

Diketahui $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \big(\frac{2x-1}{2x+1}\big)^{4x^2-1} = e^{x^2-8x+5}$ , maka nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah …

a. $x=1$ atau $x=-5$
b. $x=-1$ atau $x=5$
c. $x=-1$ atau $x=3$
d. $x=1$ atau $x=3$
e. Tidak ada $x$ yang memenuhi

Pembahasan:

Ubah bentuk limit menjadi bentuk eksponensial, dengan $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \big(1+\frac{1}{x}\big)^x$
Sehingga,

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \big(\frac{2x+1-2}{2x+1}\big)^{4x^2-1}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \big(1 + \frac{(-2)}{2x+1}\big)^{4x^2-1}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \big(1+ \frac{1}{\frac{2x+1}{-2}}\big)^{\frac{2x+1}{-2}\cdot \frac{-2(4x^2-1)}{2x+1}}$

$= e^{\frac{-2(2x-1)(2x+1)}{2x+1}}$

$= e^{-4x+2}$

Setelah mengubah bentuk limitnya menjadi bentuk eksponensial, selanjutnya mencari penyelesaiannya dengan persamaan eksponensial

$e^{-4x+2} = e^{x^2-8x+5}$

$-4x+2 = x^2 -8x+5$

$x^2 -4x +3 = 0$

$(x-1)(x-3)=0$

$x=1$ atau $x=3$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah C. $x=1$ atau $x=3$

SOAL 2

Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika suku ke-3 dari barisan aritmatika dihilangkan akan membentuk suatu barisan geometri. Apabila beda suku-suku pada barisan aritmatika adalah 4, maka suku ke-6 dari barisan geometri adalah …
a. 24
b. 32
c. 64
d. 128
e. 256

Pembahasan:

Jika baris aritmatika tersebut kita tuliskan sebagai

$a$ $b$ $c$ $d$

Maka baris geometrinya adalah

$a$ $b$ $d$

Dari soal diketahui beda suku-suku pada barisan aritmatika adalah 4 sehingga

$b=a+4$ , $c=a+8$ , dan $d=a+12$

Sehingga deret geometrinya menjadi

$a$ $a+4$ $a+12$

Pada barisan geometri

$\frac{a+12}{a+4}=\frac{a+4}{a}$

$(a+12)(a)=(a+4)(a+4)$

$\cancel{2a^2}+12a=\cancel{2a^2}+8a+16$

$12a-8a=16$

$4a=16$

$a=\frac{16}{4}=4$

Barisan geometrinya menjadi

$4$ $4+4=8$ $4+12=16$

Diperoleh $r=\frac{8}{4}=2$

Karena yang ditanya adalah $U_6$ dari barisan geometri maka

$U_n=a\cdot r^{n-1}$

$U_6=4\cdot 2^{6-1}$

$U_6=4\cdot 2^5=4\cdot32=128$

Jawaban yang tepat adalah D. 128

SOAL 3

Nilai dari $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \big[\frac{2}{n^2} (4+8+12+ … + 4n - n^2) \big]$ adalah …
a. $2$
b. $\frac{1}{4}$
c. $0$
d. $\infty$
e. $\frac {1}{2}$

Pembahasan:

Ubah bentuk limit menjadi sebagai berikut.

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \big[\frac{2}{n} (\frac{4+8+12+ … + 4n - n^2}{n})\big]$

$= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \big[\frac{2}{n}(\frac{4+8+12+ … + 4n}{n} + n (-1))\big]$

$= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \big[\frac{2}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{4i}{n}-1\big]$

Bentuk tersebut adalah bentuk limit jumlah Riemann dari integral tentu, sehingga diperoleh:

$\Delta x = \frac{2}{n} = \frac{2-0}{n}$ ini berarti batas integralnya adalah $0 \le x \le 2$

$f(x_i) = \frac{4i}{n}-1$

Karena $\Delta x = \frac{2}{n}$ dan $x_i = a + \Delta x \cdot i$ , maka:

$x_i = 0 + \frac{2i}{n} = \frac{2i}{n}$

Sehingga: $f(x) = 2x -1$ karena $f(x_i) = 2 \cdot \frac{2i}{n} -1$

Jadi, kita bisa menghitung menggunakan integral tentu.

$\int^2_0 2x-1 \, dx = x^2 - x \big|^2_0 = 4-2 - 0 =2$

Jawabannya adalah A. 2.

MTK SOSHUM

SOAL 1

Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari masing-masing 4 orang pria dan wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 orang pria adalah …
a. 16
b. 22
c. 28
d. 30
e. 36

Pembahasan:

Susunan pertama adalah apabila terpilih masing-masing 3 pria dan wanita:

Susunan untuk memilih 3 dari 4 pria

$C_4^3=\frac{4!}{(4-3)!3!}=4$

Susunan untuk memilih 3 dari 4 wanita

$C_4^3=\frac{4!}{(4-3)!3!}=4$

Jadi banyaknya susunan yang dapat dibentuk untuk memilih masing-masing 3 pria dan wanita adalah $4\times 4=16$ susunan

Susunan kedua adalah apabila terpilih 4 pria dan 2 wanita

Susunan untuk memilih 4 dari 4 pria

$C_1^1=\frac{4!}{(4-4)!4!}=1$

Susunan untuk memilih 2 dari 4 wanita

$C_4^2=\frac{4!}{(4-2)!2!}=6$

Jadi banyaknya susunan yang dapat dibentuk untuk memilih 4 pria dan 2 wanita adalah $1\times 6=6$ susunan

Sehingga banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk apabila sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah $16+6=22$ susunan. Jawaban yang tepat adalah B.

SOAL 2

Jika matriks $A= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , maka $A^{25}\begin{pmatrix} 25 \\ 1 \end{pmatrix} =$ …
a. $\begin{pmatrix} -25 \\ 1 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 25 \\ 1 \end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} -15 \\ 1 \end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix}$
e. $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan:

$A^2=A\times A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3=A^2\times A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dari kedua matriks di atas jika persamaan umum matriks adalah $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka untuk matriks $A^n = \begin{pmatrix} a & U_n \\ c & d \end{pmatrix}$ dengan suku pertama dan bedanya adalah $-2$

Jadi $A^25=\begin{pmatrix} 1 & -50 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{25}\begin{pmatrix} 25 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -50 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 25 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A^{25}\begin{pmatrix} 25 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 25-50 \\ 0 + 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -25 \\ 1 \end{pmatrix}$
Jawaban yang paling tepat adalah A

SOAL 3

Diketahui kurva $f(x) = |x-2|$ berpotongan dengan kurva $g(x) = ax^2+bx+c$ di titik yang berabsis $x=1$ dan $x=3$ . Jika nilai $a=-1$ , maka nilai dari $\, ^c \log b$ adalah …
a. 4
b. 1
c. 0
d. $\frac{1}{2}$
e. 2

Pembahasan:

Cari terlebih dahulu ordinat titik perpotongan kurva $f(x)$ dan $g(x)$ , dengan substitusi absis ke $f(x)$ .

$f(1) = |1-2| = 1$

$f(3) = |3-2| = 1$

Sehingga diperoleh titik perpotongan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah (1,1) dan (3,1).

Selanjutnya, karena nilai $a=-1$ pada kurva $g(x)$ , maka bisa dikatakan $g(x) = -x^2+bx+c$ . Misal, akar-akar dari $g(x)$ adalah $p$ dan $q$ , sehingga:

$(x-p)(-x+q) = 0$ kalian bebas menaruh $p$ dan $q$ dimana saja, asal konsisten.

Bisa diperoleh: $g(x) = (x-p)(-x+q)$

Substitusikan titik perpotongan ke $g(x)$

$g(1) = (1-p)(-1+q) = 1 \implies -1+q +p -pq =1 \implies pq = p+q -2$

————————————————————————————–

$g(3) = (3-p)(-3+q) = 1 \implies -9 +3p+3q -pq = 1$

$\implies 3(p+q) - (p+q) +2 = 10$

$\implies 2(p+q) = 8$

$\implies (p+q) = 4$

————————————————————————————–

$pq = 4 - 2 =2$

Karena $p$ dan $q$ adalah akar-akar $g(x) = -x^2 + bx+c$ maka:

$p+q = -\frac{b}{a}$

$\implies 4 = - \frac{b}{-1}$

$\implies b= 4$

———————————————————-

$pq = \frac{c}{a}$

$\implies 2 = \frac{c}{-1}$

$\implies c =-2$

Jadi, nilai dari $\, ^c \log b = \, ^{-2} \log 4 = 2$

Jawaban paling tepat adalah E

Gimana? Mudah? Kalo kamu menganggap soal-soal di atas mudah, berarti persiapan kamu udah cukup bagus. Tapi ingat. Semakin sering ngerjain soal, kamu akan semakin terbiasa dan siap untuk ngerjain soal sesulit apapun. Jadi jangan berhenti disini, ya.

Kalo masih bingung, berarti kamu harus lebih banyak lagi belajar dan nyediain waktu untuk ngerjain latihan soal UTBK.

Kamu mau latihan soal yang lebih banyak lagi? Pahamify melalui program Try Out Online UTBK yang diadain setiap bulannya punya segudang soal disertai pembahasan yang bisa bikin kamu semakin jago lagi, loh!